Stochastische Modellierung und Analyse von durch zufällig verteilten Kohlenstoff-Nanoröhrchen verstärkten Materialien und Strukturen

Das Hauptziel des Projektes ist es, eine neue Methode zum Modellieren und Homogenisieren von durch zufällig verteilte Kohlenstoff-Nanoröhren (CNT) verstärkte Materialien zu entwickeln. Ein weiteres Ziel besteht darin, ihre Effektivität in Anwendung auf die Analyse des Spannungs- und Deformationszustandes in Komposit-Elementen aufzuzeigen.

In diesem Modell werden die CNTs auf eine vorgeschriebene zufällige Weise innerhalb des Materials verteilt. Die Mikrostruktur des Materials wird durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen beschrieben, die den Volumenanteil der CNTs, ihre Orientierungen, Abmessungen und andere relevante Parametern spezifizieren. Die CNTs werden als hohle ellipsenförmige oder zylindrische Nano-Einschlüsse mit einer Graphene-Schicht modelliert, die ihre Oberflächen bildet und mit dem Matrixmaterial in Wechselwirkung steht. 
Das Homogenisierungsproblem wird durch die Kopplung der Gleichungen der Elastizitätstheorie mit den Gleichungen des Materialoberflächenmodels, welches die Spezifik der CNT-Verstärkung berücksichtigt, formuliert. Die Kopplung zwischen diesen zwei Sätzen von Gleichungen soll die Natur der Bindung zwischen CNTs und der Matrix wiedergeben, welche am wenigsten erforscht und somit ein noch zu bestimmendes Teil des Modells ist. Deshalb werden zwei unterschiedliche Wege der Berücksichtigung der verschiedenen Bindung-Bedingungen zwischen den CNTs und der Matrix untersucht und verglichen.
Der eine Weg wird darin bestehen, zwischen den CNTs und der Matrix eine dünne Schicht aus elastischem Material einzuführen, deren Eigenschaften so angepasst werden, dass sie die Bindung-Eigenschaften emulieren. Die Parameter, die bei der Beschreibung dieser dünnen Schicht genutzt werden, werden über die Linearisierung passender inter-atomarer Potentiale bestimmt. Der zweite Weg besteht in der Modifizierung der Eigenschaften der CNTs selbst, welche die Ursprungseigenschaften des CNTs und der Bindung kombiniert. 
Die statistische Methode der konditionierten Momente, in Verbindung mit den Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die das Material beschreiben, wird genutzt bei der Herleitung der Grundgleichungen, um in geschlossener Form Ausdrücke für alle elastischen (größenabhängigen) Module von CNT-verstärktem Material zu extrahieren. Verschiedene spezifische Materialien werden analysiert, ihre effektiven Eigenschaften bestimmt und Vergleiche mit existierenden Resultaten durchgeführt. 

Zur Illustration wird dieses Modell in einer FEM-Analyse genutzt, um das Verhalten von Kompositstrukturen, deren Geometrie und Belastung von Interesse in Anwendungen sind, vorherzusagen. Im Speziellen wird eine Platte ohne und mit einem zentralen Kreisloch bei Belastung in der Plattenebene untersucht. Es soll demonstriert werden, wie Variationen der geometrischen Parameter, der Volumenanteile, der räumlichen Verteilung, der Orientierung und der Bindung von CNTs das Strukturverhalten ändern und wie dieses genutzt werden kann für ein optimales Design derartiger Strukturen.

The main goal of the project is presentation of a new approach to modeling and homogenization of random Carbon NanoTube (CNT) - reinforced materials. The secondary goal is to demonstrate the effectiveness of that approach in its application to analysis of stress/strain fields in composite structural elements.
In the proposed model CNT-s will be assumed to be dispersed within the matrix material in a prescribed random manner, characterizing the material of interest (and obtained from experimental observations, for instance). Microstructure of the material will be described by probability functions specifying volume fraction of CNT-s, their orientations, dimensions and other relevant parameters. From the viewpoint of mechanics CNT-s will be modeled as hollow ellipsoidal or cylindrical nano-inhomogeneities, with a layer of graphene forming their surfaces and interacting with the matrix material.
Mathematically, the homogenization problem will be formulated by coupling equations of bulk elasticity with equations of the materials surface model which accounts for the specifics of the CNT-reinforcement. The coupling between these two sets of equations will reflect the nature of bonding between CNT-s and the matrix, which is the least explored and, thus, most uncertain part of the model. For that reason, two different ways of accounting for various bonding conditions between CNT-s and the matrix will be investigated and compared.
One way will consist in inserting between CNT-s and the matrix a thin, continuous layer of elastic material whose properties will be adjusted so as to emulate the properties of bonding. The parameters used in the description of that thin layer will be determined from linearization of appropriate inter-atomic potentials. The second way will be via modified properties of CNT-s themselves, which will combine the original properties of CNT used in the first approach and those of bonding. In the second approach the need for an additional layer will be eliminated.
The statistical method of conditional moments, in conjunction with the probability functions describing the material, will be used in evaluation of the governing equations to extract closed-form expressions for effective elastic moduli (size-dependent) of CNT-reinforced material. Several specific materials will be analyzed, their effective properties determined and comparisons with the existing results will be made.
As an illustration the proposed model will be used in the structural FEM analysis to predict the behavior of composite structures whose geometry and loading are relevant to applications. Specifically, a plate without and with a central circular hole subjected to an in-pane loading will be investigated. It will be demonstrated how variations of geometrical parameters, volume fraction, spatial distribution, orientation and bonding of CNT-s change the structural behavior and how it may be beneficial in optimal design of those structures.