Anwendung Elliptischer Funktionen bei der Lösung einer Duffing-Differentialgleichung

Elliptische Funktionen werden vielfach im ingenieurwissenschaftlichen Bereich angewandt, so bei der Modellierung, Analyse und Simulation nichtlinearer Schwingungen, überhaupt bei der Lösung gewisser autonomer Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssysteme, bei Anwendungen konformer Abbildungen usw. Die Handhabung dieser Funktionen ist mit den verfügbaren Computeralgebrasystemen und den Möglichkeiten zur exakten und numerischen Lösung derartiger Problemstellungen auch für solche Anwender interessant geworden, welche nur grundlegende Kenntnisse in der umfangreichen Theorie dieser Funktionen haben (vergleiche dazu [1], S. 91 und die dort angegebene Literatur, ebenso [2], S. 751 ff.).
In dieser Arbeit, die durch eine Anfrage aus einem Ingenieurbüro angeregt wurde, wird die Duffing-Differentialgleichung
(0;1) x + x - x3/6 = 0
mit den Anfangsbedingungen
(0;2) x(0) = 0, x(0) = a > 0
untersucht, wobei a noch der zusätzlichen Relation
(0;3) 1/3 - a2 + a4/12 = 0
genügt.
Die Duffing-Differentialgleichung (0;1) beschreibt für solche x, welche
(0;4) |x| (0;4) |x| < 21/2
erfüllen, ein ungedämpftes Pendel mit abnehmender Rückstellkraft bei zunehmender Auslenkung (kubisches Gesetz) beziehungsweise das Schwingverhalten einer "weichen Feder" (siehe [3], S. 323 und 324 sowie S. 136 und 137). Gesucht ist hier eine Lösung x = x(t), t > 0 für das Problem (0;1-4).
Anhand des Vorgehens bei der Lösung dieses Anfangswertproblems wird gezeigt, wie Elliptische Funktionen zur Lösungsgewinnung bei entsprechenden Problemstellungen angewandt werden können. Auch wird bei der Diskussion deutlich, wie beide Perioden der Elliptischen Funktionen, von denen, wie bekannt, mindestens eine komplex ist, dennoch bei der Analyse rein reeller Probleme von Nutzen sind.
Mit Hilfe von Computeralgebrasystemen können die erhaltenen Lösungen "handhabbar" gemacht werden.
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert:

• Bezeichnungen und grundlegen de Eigenschaften Elliptischer Funktionen
• Elliptische Funktionen zum Rechteckgitter
• Lösung einer Duffing-Differentialgleichung mit Elliptischen Funktionen
• Anwendung des Computeralgebrasystems MATHEMATICA
• Vergleich der exakten Lösung mit einer numerisch gewonnenen Lösung