Numerische Modellierung von komplexen kompressiblen Strömungen mit echt mehrdimensionalen Verfahren

Ziel des Projektes ist die mathematische Modellierung von komplexen nichtlinearen Systemen von Erhaltungsgleichungen mit Quelltermen und/oder Dissipationstermen. Wir werden klassische, d.h. Newtonische, sowie auch nicht-Newtonische Dissipationsterme betrachten. Das Forschungsvorhaben konzentriert sich auf die Entwicklung von neuen numerischen Verfahren, die mit Hilfe von folgenden numerischen Approximationen von Splitting-Typ konstruiert werden: - eine echt mehrdimensionale Approximation mittels Bicharakteristiken der nichtlinearen Konvektionsterme erster Ordnung - eine stabile Finite-Elemente-/Finite-Differenzen-Approximation der Quellterme, sowie auch der Dissipationsterme. Die numerischen Verfahren sollen für ingenieurwissenschaftliche, geophysikalische oder biomechanische Anwendungen geeignet sein. Wir möchten die folgenden Beispielprobleme studieren: die Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen mit Quelltermen, die Flachwasserwellen-Gleichungen mit Quelltermen, die z.B. in der geophysikalischen oder meteorologischen Modellierung verwendet werden, Erhaltungsgleichungen mit nichtlinearer Dissipation, wie z.B. Strömung von Ölen, Komposit-Materialien, Polymeren oder des Blutes, s.g. Hämodynamik. Da numerische Berechnungen häufig, z.B. bei Problemen der Ingenieurwissenschaften, auf Differentialgleichungen angewandt werden, deren Lösung nicht explizit bekannt ist, können numerische Approximationen irreführende Ergebnisse liefern. Zur Absicherung der Verfahren ist eine weitere mathematische Analyse der Stabilität und der Genauigkeit der Approximationen wichtig.